Question

已知二次函数y=a（x²-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

（1）如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点，求证四条线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形；
（3）如图②，正方形EFGH向左平移t个单位长度时，正方形EFGH上是否存在一点P（包括正方形的边界），使得四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形？如果存在，请求出t的取值范围．

Answer 1

解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a
故点A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
则OA=2，该抛物线对称轴为直线x=3．
如图①设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1．
∵由题意得O'A=OA=2，
∴O'A=2AM，
∴∠O'AM=60°，
∴∠OAC=∠O'AC=60°，
∴OC=•AO=2，即8a=2，
解得，a=；

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立．
（I）如图②
设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM．
∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在同一直线上，点C在y轴上，
∴PB＜BE，即PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB．
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（II）如图③，设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），
点F的坐标是（4，3）点G的坐标是（5，3）．
∴FB=3，GB=，
∴3≤PB＜，
∵PC≥4，
∴PC＞PB
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．

（3）正方形EFGH向左平移t个单位长度时，正方形EFGH上存在一点P（包括正方形的边界），使得四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形．
如图④，当点P位于该抛物线的对称轴上时，四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形．
∵点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点P是该抛物线对称轴上的一点，
∴PA=PB，
∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形．
①当点P位于边EF上，即边EF与对称轴重合时．
∵该抛物线对称轴为直线x=3，点E、F的横坐标均为4，
∴正方形EFGH向左平移1个单位时，正方形EFGH上存在一点P（包括正方形的边界），使得四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形；
②当点P位于边HG上，即边HG与对称轴重合时．
∵点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），
∴EF=FG=1．
∵该抛物线对称轴为直线x=3，
∴正方形EFGH向左平移2个单位时，正方形EFGH上存在一点P（包括正方形的边界），使得四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形；
综上所述，1≤t≤2．
分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）要使线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形，必须有两组对边分别相等．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，待定系数法求二次函数的解析式以及平行四边形的判定与性质等．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．