Question

如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形．
（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF交BC于G，请判断G点是否为EF中点，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB，
∴2∠OAD=2∠OCB，
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC
∵AD＜BC，
∴四边形ABCD为梯形．
在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．
∴△ABC≌△DCB，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为等腰梯形．

（2）解：点G是EF中点．理由：
过E作EH∥CD交BC于H．
∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GCF，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠EBH=∠DCB，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EB=EH，
∵EB=CF，
∴EH=CF，
在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG，∠EGH=∠FGC，EH=CF，
∴△EHG≌△FGC，
∴EG=FG即G为EF中点．
注（2）问也可过F作FM∥AB交BC延长线于M，证△BEG≌△FMG也可．
分析：（1）根据等角对等边可证明OB=OC，还可得出∠OAD=∠OCB，则AD∥BC，从而得出四边形ABCD为等腰梯形．
（2）过E作EH∥CD交BC于H．由梯形ABCD为等腰梯形，得∠EBH=∠DCB，则EB=EH，所以△EHG≌△FGC，即EG=FG（G为EF中点）．
点评：本题考查了等腰梯形的判定以及全等三角形的判定和性质，是一道综合题，难度较大．