Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足＋（n﹣12）2＝0．

（1）求直线AB的解析式及C点坐标；

（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；

（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（，）

【解析】

（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；

（2）画出图象，由CD⊥AB知可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；

（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.

解：（1）∵＋（n﹣12）2＝0，

∴m＝6，n＝12，

∴A（6，0），B（0，12），

设直线AB解析式为y＝kx＋b，

则有，解得，

∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，

∵直线AB过点C（a，a），

∴a＝－2a＋12，∴a＝4，

∴点C坐标（4，4）．

（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，

设直线CD解析式为y＝x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，

∴直线CD解析式为y＝x＋2，

∴点D坐标（－4，0）．

（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，

图2

∵直线EC解析式为y＝x－2，直线CF解析式为y＝－x＋，

∵×（－）＝－1，

∴直线CE⊥CF，

∵EC＝2，CF＝2，

∴EC＝CF，

∴△FCE是等腰直角三角形，

∴∠FEC＝45°，

∵直线FE解析式为y＝－5x－2，

由解得，

∴点P的坐标为（）.