Question

【题目】如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点、过点作交边于点，把线段绕点旋转至（点与点对应），点落在线段上，若恰好平分，则的长为_________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

由PQ∥AC，可得△BPQ∽△BCA，得到BP:BQ=BC:BA=3:4，设BP=3x，则BQ=4x，PQ=5x，PE=PB=3x，又AE恰好平分∠BAC，由此得到∠QAE=∠EAC=∠AEQ，进而得到△QAE是等腰三角形，QE=AQ=2x，进而得到AB=AQ+QB=6x=8，解出x的值即可求解.

解：如下图：

∵PQ∥AC，∴∠QPB=∠ACB，且∠B为公共角

∴△BPQ∽△BCA

∴，设BP=3x，则BQ=4x，PQ=5x，PE=PB=3x

∵AE恰好平分∠BAC，

∴∠QAE=∠EAC

又PQ∥AC

∴∠EAC=∠AEQ

∴∠QAE=∠AEQ

∴△AQE为等腰三角形，且AQ=QE=2x

∴AB=AQ+BQ=2x+4x=6x，又AB=8

∴6x=8，

∴BP=3x=4.

故答案为：4.