Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点．

(1)求证：DE＝DF；

(2)试猜想△DEF是不是等边三角形？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△DEF是等边三角形．理由见解析.

【解析】

(1)由DE和DF都是以BC为斜边的直角三角形BCF和直角三角形BCE的中线，所以相等；

（2）由等腰三角形性质得∠EDC＝180°－2∠DCE，∠BDF＝180°－2∠ABD，

由平角定义得∠FDE＝180°－∠EDC－∠BDF＝180°－(180°－2∠DCE)－(180°－2∠ABD)＝2(∠DCE＋∠ABD)－180°＝2×(180°－∠A)－180°＝60°，由(1)知DE＝DF，根据等边三角形判定可得.

(1)证明：在Rt△BFC中，

∵DF为斜边BC上的中线，

∴DF＝BC.

同理可得DE＝BC，

∴DE＝DF.

(2)解：△DEF是等边三角形．理由如下：

由(1)知DE＝BC＝CD，

∴∠EDC＝180°－2∠DCE.

同理∠BDF＝180°－2∠ABD，

∴∠FDE＝180°－∠EDC－∠BDF＝180°－(180°－2∠DCE)－(180°－2∠ABD)＝2(∠DCE＋∠ABD)－180°＝2×(180°－∠A)－180°＝60°.

由(1)知DE＝DF，

∴△DEF是等边三角形．