Question

8．如图所示，正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ACD绕点C逆时针旋转一定角度得到△A′CD′，连接AA′，连接DD′并延长交AA′于点E，若A′E=$\frac{1}{2}$AC=2，则ED′=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，延长A′D′到A″使得D′A″=D′A′，交AD于G，连接AA″，DA″，CG，CE，A′B，AD′，作A′M⊥DE于M．首先证明△A′CB≌△ACD′≌△A″CD，推出CG⊥DE，AA″⊥DE，推出DE∥AA″，推出A′E=AE，根据A′E=$\frac{1}{2}$AC，推出△A′CA是等边三角形，再利用A′、E、D′、C四点共圆即可解决问题．

解答 解：如图，延长A′D′到A″使得D′A″=D′A′，交AD于G，连接AA″，DA″，CG，CE，A′B，AD′，作A′M⊥DE于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ACD=45°，∠BCD=90°，
∴CD′=A′D′=D′A″，
∴∠A′CA″=90°，CA′=CA″，
∵∠A′CA″=∠BCD，
∴∠A′CB=∠A″CD，
在△A′CB和△A″CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{A′C=CA″}\\{∠A′CB=∠A″CD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△A′CB≌△A″CD，同理可证△A′CB≌△ACD，
∴CA=CA′=CA″，∠ACD′=∠A″CD，
在Rt△CGD′和Rt△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD′=CD}\end{array}\right.$，
∴△CGD′≌△CGD，
∴∠CGD′=∠CDG，∠GCD′=∠GCD，
∴CG⊥DD′，
∴∠ACG=∠A″CG，
∴CG⊥AA″，
∴DE∥AA″，
∵A′D′=D′A″，
∴A′E=EA，
∵A′E=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴AC=CA′=A′A=4，CE⊥AA′，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠A′CE=$\frac{1}{2}$∠ACA′=30°，
∵∠A′EC=∠A′D′C=90°，
∴A′、E、D′、C四点共圆，
∴∠A′EM=∠A′CD′=45°，∠A′D′M=30°，
∴A$′M=ME=\sqrt{2}$，
D′M=$\sqrt{3}$A′M=$\sqrt{6}$，
∴D′E=D′M-EM=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，发现△A′CA是等边三角形是解题的突破点，题目比较难，属于竞赛类题目．