Question

【题目】如图1，已知∠A+∠E+∠F+∠C=540°．

（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠PAB=3∠PAQ，∠PCD=3∠PCQ，试判断∠APC与∠AQC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD．理由见解析；（2）∠AQC=∠APC．理由见解析．

【解析】

（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，求出EM∥FN∥AB，根据平行线的性质和已知推出∠2+∠C=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）设∠PAQ=x，∠PCD=y，求出∠PAB=3x，∠BAQ=2x，∠PCD=3y，∠QCD=2y，过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，根据平行线的性质求出∠AQC=2x+2y=2（x+y），∠APC=3x+3y=3（x+y），即可得出答案．

解:（1）AB∥CD．理由如下：

分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，

∵EM∥AB，FN∥AB，

∴EM∥FN∥AB，

∴∠1+∠A=180°，∠3+∠4=180°，

∵∠A+∠E+∠F+∠C=540°，

∴∠2+∠C=540°﹣180°﹣180°=180°，

∴FN∥CD，

∵FN∥AB，

∴AB∥CD；

（2）设∠PAQ=x，∠PCD=y，

∵∠PAB=3∠PAQ，∠PCD=3∠PCQ，

∴∠PAB=3x，∠BAQ=2x，

∠PCD=3y，∠QCD=2y，

过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PG∥GH，

∴∠AQH=∠BAQ=2x，∠QCD=∠CQH=2y，

∴∠AQC=2x+2y=2（x+y），

同理可得：∠APC=3x+3y=3（x+y），

∴，

即∠AQC=∠APC．