Question

如图所示，在?ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是

150°

．

Answer 1

分析：添加辅助线，构造△MDF，利用角边角证明△AME与△FMD全等，得到M为EF的中点，根据平行四边形的对边平行，得到∠BEC等于∠ECF都为直角，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出ME和MC相等，根据等比对等角，得到∠MEC等于∠MCE都等于40°，从而得出∠EMC和∠MCD的度数，再根据AD等于AB的二倍，AD等于MD的二倍，所以MD等于AB，根据平行四边形的性质得AB=CD，即MD=CD，根据等边对等角求出∠DMC的度数，而要求的角等于上边求出的∠EMC和∠DMC的和，从而求出答案．

解答：解：延长EM与CD的延长线交于点F，连接CM，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，CE⊥AB，
∴∠ECF=∠BEC=90°，∠A=∠MDF，
在△AEM和△DFM中，

∠A=∠ADM AM=DM ∠AME=∠DMF

，
∴△AEM≌△DFM（ASA），
∴EM=FM，
∴CM=EM=

1

2

EF，
∴∠MEC=∠MCE=40°，
∴∠EMC=100°，∠MCD=50°，
又∵M为AD中点，AD=2DC，
∴MD=CD=

1

2

AD，
∴∠DMC=∠DCM=50°，
∴∠DME=∠EMC+∠DMC=100°+50°=150°．
故答案为：150°．

点评：此题考查了学生平行四边形的性质以及直角三角形的性质，同时还要注意等腰三角形的性质在做题中的灵活运用，这道题往往会作为中考时填空题或选择题方面的压轴题．