Question

11．若x³+x²+x=-1，求多项式x²⁰⁰⁹+x²⁰⁰⁸+…+x²+x+1的值．

Answer 1

分析 由x³+x²+x=-1，得出x³+x²+x+1=0，整理x²⁰⁰⁹+x²⁰⁰⁸+…+x²+x+1为（1+x+x²+x³）+（x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）+…+（x²⁰⁰⁶+x²⁰⁰⁷+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁹），经过两次提公因式可得（1+x+x²+x³）（1+x⁵+x¹⁰+…+x²⁰⁰⁶），进一步代入求得答案即可．

解答 解：∵x³+x²+x=-1，
∴x³+x²+x+1=0，
∴x²⁰⁰⁹+x²⁰⁰⁸+…+x²+x+1为（1+x+x²+x³）+（x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）+…+（x²⁰⁰⁶+x²⁰⁰⁷+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁹
=（1+x+x²+x³）（1+x⁴+x⁸+…+x²⁰⁰⁶）
=0．

点评 此题考查因式分解的实际运用，分组利用提取公因式法是解决问题的关键．