Question

20．如图，在△AOB中，∠AOB=α，点C是边AB上与A、B不重合的一点，将射线OC绕点O顺时针旋转一定角度，旋转角等于α，得射线ON，以C为顶点，CO为一边作∠OCD=∠A．射线CD交ON于点D，连接BD．
（1）若α=90°，$\frac{OA}{OB}$=1，则直接填空：$\frac{AC}{BD}$=1；∠OBD的度数为45°，
（2）若α=90°，$\frac{OA}{OB}$=k，请判断∠OBD与∠A的数量关系，以及AC与BD之间的数量关系．并说明理由．
（3）若∠A=45°，OA=4$\sqrt{2}$，AB=12，若OC=5，请直接写出BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据α=90°，$\frac{OA}{OB}$=1，可得△AOB是等腰直角三角形，再根据∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD=α，即可判定△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质得出$\frac{AO}{BO}$=$\frac{CO}{DO}$，再根据∠AOC=∠BOD，即可判定△AOC∽△BOD，进而得到$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AO}{BO}$=1，∠OBD=∠A=45°；
（2）根据∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD=α，即可判定△AOB∽△COD，进而得到$\frac{AO}{BO}$=$\frac{CO}{DO}$，再根据∠AOC=∠BOD，即可判定△AOC∽△BOD，进而得到∠OBD与∠A的数量关系，以及AC与BD之间的数量关系；
（3）过O作OE⊥AB于E，则∠AEO=90°，求得OE=AE=4，BE=12-4=8，再根据勾股定理求得，Rt△BOE中，BO=4$\sqrt{5}$，分两种情况：①C在线段AE上；②C在线段BE上，分别根据△AOC∽△BOD，求得BD的长．

解答 解：（1）如图所示，当α=90°，$\frac{OA}{OB}$=1时，△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD=α，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{BO}{DO}$，即$\frac{AO}{BO}$=$\frac{CO}{DO}$，
又∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AO}{BO}$=1，∠OBD=∠A=45°，
故答案为：1，45°；

（2）∠OBD=∠A，$\frac{AC}{BD}$=k，
理由：如图，∵∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD=α，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{BO}{DO}$，即$\frac{AO}{BO}$=$\frac{CO}{DO}$，
又∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OBD=∠A，$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AO}{BO}$=k；

（3）如图所示，过O作OE⊥AB于E，则∠AEO=90°，
∵∠A=45°，OA=4$\sqrt{2}$，
∴OE=AE=AO×cos45°=4，
∵AB=12，
∴BE=12-4=8，
∴Rt△BOE中，BO=$\sqrt{B{E}^{2}+O{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
分两种情况：
①如图，当C在线段AE上时，Rt△COE中，CE=$\sqrt{C{O}^{2}-E{O}^{2}}$=3，
∴AC=AE-CE=4-3=1，
∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BO}{AO}$，即$\frac{BD}{1}$=$\frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
②如图，当C在线段BE上时，同理可得CE=3，
∴AC=AE+EC=4+3=7，
∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BO}{AO}$，即$\frac{BD}{7}$=$\frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$，
∴BD=$\frac{7}{2}\sqrt{10}$．
综上所述，BD的长为$\frac{\sqrt{10}}{2}$或$\frac{7}{2}\sqrt{10}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，运用分类思想进行求解．解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．