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    9．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0
    （1）试判断上述方程根的情况．
    （2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，求满足条件的m的最小值．
    （3）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．
    ①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
    ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．

    分析 （1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；
    （2）设方程的两根为x1，x2，根据题意得m=x1x2，再利用根与系数关系表示出x1x2，列出m关于k的二次函数解析式，利用二次函数性质求出m的最小值即可；
    （3）①表示出方程的两解，即为AB与AC，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
    ②由（1）得到AB≠AC，分AC=BC与AB=BC两种情况求出k的值，并求出三角形周长即可．

    解答 解：（1）由方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，得b2-4ac=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=4k2+12k+9-4k2-12k-8=1＞0，
    则方程有两个不相等的实数根；
    （2）设方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个根为x1，x2，根据题意得m=x1x2，
    又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2+3k+2，
    ∴m=k2+3k+2=（k+$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，
    则当k=-$\frac{3}{2}$时，m取得最小值-$\frac{1}{4}$；
    （3）①x1=k+1，x2=k+2，
    不妨设AB=k+1，AC=k+2，
    当斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即（k+1）2+（k+2）2=25，
    解得k1=2，k2=-5（舍去），
    ∴当k=2时，△ABC是直角三角形；                                       
    ②当AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由（1）知AB≠AC，
    故有两种情况：
    （i）当AC=BC=5时，k+2=5，即k=3，此时三角形周长为4+5+5=14；
    （ii）当AB=BC=5时，k+1=5，即k=4，此时三角形周长为5+5+6=16．

    点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，二次函数的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    19．下列说法：（1）满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；（2）过三角形一顶点作对边的垂线叫做三角形的高；（3）三角形的外角大于它的任何一个内角；（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中错误的是（　　）个．
    A．1B．2C．3D．4

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    20．如果（a+1）2+|b-2|=0，求a2010+（a+b）2011的值是2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．阅读下列材料：
    小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
    小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
    （1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为$\sqrt{61}$；
    （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
    ①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
    ②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    4．把一元二次方程（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0，二次项为x2，一次项系数为-6，常数项为4．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．把下列各数分别填入相应的集合里．
    3，-7，-$\frac{2}{3}$，5.$\stackrel{•}{6}$，0，-8$\frac{1}{4}$，15，$\frac{1}{9}$
    （1）分数集合：{-$\frac{2}{3}$，5.$\stackrel{•}{6}$，-8$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{9}$…}    （2）负数集合：{-7，-$\frac{2}{3}$，-8$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{9}$…}   
    （3）整数集合：{3，-7，0，15…}    （4）非负数集合：{3，5.$\stackrel{•}{6}$，0，15，$\frac{1}{9}$…}．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    1．马虎同学做了以下5道计算题：①0-（-1）=1；②$\frac{1}{2}$÷（-$\frac{1}{2}$）=-1；③-$\frac{5}{7}$+$\frac{2}{7}$=-（$\frac{5}{7}$+$\frac{2}{7}$）=-1；④-7-2×5=-9×5=-45；请你帮他检查一下，他一共做对了（　　）
    A．1题B．2题C．3题D．4题

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．给出下列各数：$\frac{3}{2}$，-6，3.5，-1.5，0，4，-$\frac{7}{2}$，
    （1）在这些数中，整数是-6，0，4；负分数是-1.5，-$\frac{7}{2}$．
    （2）在数轴上表示出这些数，并指出与原点距离最远的数是-6．
    （3）把这些数用“＜”连接起来．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．（1）-54×2$\frac{1}{4}$÷（-4$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{9}$           
    （2）（$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{9}$+$\frac{7}{12}$）×（-36）
    （3）-4×7-（-3）×6+5              
    （4）-1-〔1-（1-0.5×$\frac{1}{3}$）〕×6
    （5）-5a+0.3a-2.7a                 
    （6）$\frac{1}{3}$（9y-3）+2（y+1）
    （7）-22-（-3）3×（-1）4-（-1）5          
    （8）（-$\frac{5}{8}$）×（-4）2-0.25×（-5）×（-4）3．

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