Question

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，且OP=2．以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=60°．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．
（1）判断：△OPN与△PMN是否相似，并说明理由；
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

Answer 1

解：（1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；

（2）∵MN=ON-OM=y-x，
∵△OPN∽△PMN，
∴，
∴PN²=ON•MN=y（y-x）=y²-xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN²=PD²+DN²=（）²+（y-1）²=y²-2y+4，
∴y²-xy=y²-2y+4，
即y=；

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为，
∴S=•OM•PD=•x•=x，
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数 ＞0，
∴0＜S＜×2，
即0＜S＜．
分析：（1）已知两三角形两角对应相等，可利用AAA证相似
（2）可由（1）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．
（3）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征、解直角三角形、函数等知识，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．