Question

【题目】如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．

（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4．

∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）

（2）解：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、C、B三点的坐标分别代入上式，

得 ，

解得a=﹣ ，b= x，c=4，

∴所求的二次函数解析式为y=﹣ x2+ x+4．

∵点A、B的坐标分别为点A（﹣1，0）、B（3，0），

∴线段AB的中点坐标为（1，0），即抛物线的对称轴为直线x=1．

∵a=﹣ ＜0，

∴当x=1时，y有最大值y=﹣ + +4=

【解析】（1）首先求得AB，得出OC，求得点C的坐标；（2）利用待定系数法求的函数解析式，进一步利用顶点坐标公式求得最值即可．