Question

14．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．
（1）直接写出线段BG与AE的数量关系：BG=AE．
（2）如图②所示将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，求证：BG⊥GE；
（3）设DG与AB交于点M，在（2）的条件下，若AG：AE=3：4，求$\frac{GM}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到BD=AD，根据正方形的性质得到GD=ED，∠ADE=∠BDG=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BGD=∠AED，根据垂直的定义即可得到结论；
（3）设AG=3x，AE=4x，则GE=7x，根据三角函数的定义得到DG=GE•cos45°=7x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x，根据全等三角形的性质得到BG=AE=4x，由勾股定理得到AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=5x根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）BG=AE，理由：
∵AD为等腰直角△ABC的高，
∴BD=AD，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GD=ED，∠ADE=∠BDG=90°，
在△BDG与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDG=∠ADE}\\{GD=ED}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
故答案为：BG=AE；
（2）∵△BDG≌△ADE，
∴∠BGD=∠AED，
在Rt△GDE中，∠AED+∠AGD=180°-∠GDE=90°，
∴∠BGD+∠AGD=90°，
∴BG⊥GE；
（3）设AG=3x，AE=4x，则GE=7x，
∴DG=GE•cos45°=7x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x，
∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，
∴AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=5x，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，BD=cos45°•AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠DGB=∠AGB-∠AGD=45°，
∴∠DBM=∠DGB，∠MDB=∠BDG，
∴△BDM∽△DGB，
∴$\frac{DB}{DG}=\frac{DM}{BD}$，
即$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x：$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x=DN：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，
∴DN=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x，
∴GM=DG-DM=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$x，
∴$\frac{GM}{MD}$=$\frac{\frac{12\sqrt{2}}{7}x}{\frac{25\sqrt{2}}{14}x}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的识别图形是解题的关键．