Question

如图Ⅰ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．
（1）如图Ⅱ，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，设BC=a，AC=b，AB=c，证明：S₁=S₂+S₃．
（2）如图Ⅲ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系．（不必证明）
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你猜想S₁、S₂、S₃之间的关系？．（不必证明）

Answer 1

分析：（1）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系；
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系；
（3）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系．

解答：解：（1）∵S₃=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₁=

π

8

AB²，
∴

π

8

AC²+

π

8

BC²=

π

8

AB²，
即

π

8

b²+

π

8

a²=

π

8

c²，
在Rt△ABC中，
∵b²+a²=c²，
∴S₂+S₃=S₁．

（2）S₁=S₂+S₃．
理由：由题意可得出：S₁=

3

4

AB²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AC²，
∴则S₁=

3

4

c2，S₂=

3

4

a2，S₃=

3

4

b2
∴S₂+S₃=

3

4

（a2+b2）=

3

4

c2=S₁，
即S₁=S₂+S₃．

（3）由（1）（2）可得出：S₁=S₂+S₃．

点评：此题主要考查了三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．