Question

10．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB=120°，∠BOC=120°．
求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．
证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：
证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，
∴AO=AO′，∠OAO′=60°
∴△AOO′是一个等边三角形
∴AO=OO′
又∵OB=O′C
∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′
请继续：

Answer 1

分析 将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，先证得△AOO′是一个等边三角形，得出∠AOO′=∠AO′O=60°，进而得到∠O′OC=∠OO′C=60°，证得△OCO′是等边三角形，因为OB=O′C，AO=OO′，所以线段OA、OB、OC构成了△OCO′，即可证得结论．

解答 证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，
∴AO=AO′，∠OAO′=60°，
∴△AOO′是一个等边三角形，
∴AO=OO′，
又∵OB=O′C，
∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′，
∵∠AOB=120°，∠BOC=120°．
∴∠AOC=120°，∠AO′C=120°
∵△AOO′是一个等边三角形，
∴∠AOO′=∠AO′O=60°，
∴∠O′OC=∠OO′C=60°，
∴△OCO′是等边三角形，
∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．