Question

已知：如图1，当△ABO和△CDO是两个等腰直角三角形，OA与OC，OB与OD，都在同一条直线上，∠ABO和∠CDO的角平分线分别交AC于点E和F．
（1）求证：AC=2（BE+DF）
（2）如图2，当△ABO和△CDO变为两个全等的直角三角形且OA与OC不在同一条直线上时，连接AC与BD交于点G，其余条件都不变，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵△AOB和△ODC是等腰直角三角形，
BE平分直角ABO，DF平分直角ODC，
∴∠A=∠AOB=45°，∠DOC=∠C=45°，∠ABE=∠OBE=∠ODF=∠CDF=45°，
∴△ABE，△OBE，△ODF，△CDF都是等腰直角三角形，
∴BE=AE=OE，DF=OF=CF，
则BE=（AE+OE）=AO，DF=（CF+OF）=OC，
∴AC=2（BE+DF）．

（2）结论成立，理由如下：
∵Rt△ABO≌Rt△CDO，
∴∠AOB=∠OCD，OA=OC，
∵OA=OC，
∴∠GAO=∠GCO，
∵∠AGB=∠GAO+∠AOB，∠GCD=∠GCO+∠OCD，
∴∠AGB=∠GCD，
∵∠AGB=∠DGC，
∴∠GCD=∠DGC．
∵∠GDC=90°，
∴∠DGC=∠GCD=45°，
∴Rt△GCD是等腰直角三角形，
同理可证Rt△ABG也是等腰直角三角形，
这满足了（1）中所有条件，根据（1）就有相同的结论．
分析：（1）推出等腰直角三角形ABE、OBE、ODF、CDF，推出BE=AE=OE，DF=OF=CF即可；
（2）根据全等三角形性质推出∠AOB=∠OCD，OA=OC，根据等腰三角形性质推出∠GAO=∠GCO，求出∠AGB=∠GCD，∠GCD=∠DGC．求出∠DGC=∠GCD=45°，∠AGB=∠BAG即可．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，此题有一定难度，但题型较好．