Question

8．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在AC上运动到何处时，四边形AECF为矩形？请说明理由；
（3）当点O在AC上运动时，四边形BCFE能为菱形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得OE=OC，同理可证OC=OF，则可证得OE=OF=OC；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而分析求出即可．

解答 （1）证明：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OE=OC，
同理可证OC=OF，
∴OE=OF；

（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由是：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACG=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG）=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

（3）解：不可能．
理由如下：如图，连接BF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACG=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△DFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．