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    已知：如图1，抛物线C1：y=
    1
    3
    (x-m)2+n    （m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y=-
    1
    3
    (x+m)2-n    的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线
    （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
    （2）如图2，若抛物线y=
    1
    3
    (x-m)2+n     （m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；
    （3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1：
    		3
     的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据题目条件可以表示出A（m，n ），C（-m，-n ），可以求得AO=CO，当x=时可以求出点B、D的坐标，从而可以证明BO=DO，CO从而得出结论．
    （2）∵抛物线y=
    1
    3
    (x-m)2+n     （m＞0）的顶点A落在x轴上，可以得出n=0，由四边形ABCD恰好是正方形，由正方形的性质就可以得出OA=OB而建立等量关系求出其m的值．
    （3）∵四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可以得出OA=OB从而建立一个等量关系，由矩形ABCD的邻边之比为1：
    		3
    ，可以得出，∠ABO=60°或∠ABO=30°，作AH⊥BD，表示出BH，用OB=BH+OH在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了．
    解答：解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
    ∵A（m，n ），C（-m，-n ），
    ∴点A与点C关于原点对称．
    ∴点O、A、C三点在同一条直线上，
    ∴OA=OC．
    ∵B(0，
    1
    3
    m2+n)，D(0，-
    1
    3
    m2-n)    ，
    ∴OB=OD．
    ∴四边形ABCD是平行四边形．

    （2）∵抛物线y=
    1
    3
    (x-m)2+n(m＞0)    的顶点A落在x轴上，
    ∴n=0．
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴OA=OB，即
    1
    3
    m2=m    ，
    解得：m1=0（不符题意，舍去），m2=3．
    此时四边形ABCD是正方形
    ∴m=3，n=0．

    （3）若四边形ABCD是矩形，
    则OA=OB，即(
    1
    3
    m2+n)2=m2+n2    ，
    化简得：
    1
    9
    m4+
    2
    3
    m2n=m2
    ∵m＞0，
    ∴m2+6n=9
    又∵矩形的邻边之比为1：
    		3
    ，
    当AB：AD=1：
    		3
    时，∠ABO=60°，
    过点A作AH⊥BD于H，则BH=
    		3
    3
    m    ，
    ∴
    		3
    3
    m+n=
    1
    3
    m2+n    ，
    ∴
    m2+6n=9
    		3
    3
    m+n=
    1
    3
    m2+n
    ，
    解得：
    m=
    		3
    n=1

    当AD：AB=1：
    		3
    时，∠ABO=30°，
    过点A作AH⊥BD于H，则BH=
    		3
    m    ，
    ∴
    m2+6n=9
    		3
    m+n=
    1
    3
    m2 +n
    ，
    解得：
    m=3
    		3
    n=-3
    ．
    答：存在m=
    		3
    ，n=1或m=3
    		3
    ，n=-3使四边形ABCD是邻边之比为1：
    		3
    的矩形．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了平行四边形的判定，正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及三角函数值的运用．
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    52
    ．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
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    （2013•大安市模拟）已知：如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
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    （3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
    ①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”．这个同学的说法正确吗？请说明理由．
    ②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•鄂州）已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x-2经过A、C两点，且AB=2．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=
    ED+OPED•OP
    ，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
    （3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宝安区二模）已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
    （1）求抛物线所对应的函数关系式；
    （2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；
    （3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．

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