Question

6．如图，抛物线y₁=a（x+2）²+m过原点，与抛物线y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y₂=5；③当x＞3时，y₁-y₂＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是①③④（填写正确结论的序号）．

Answer 1

分析 把点A坐标与原点坐标代入y₁，求出a、m的值，即可得到函数解析式，把点A坐标代入y₂，求出n的值，即可得到函数解析式，再判定①；令x=0，求出y₂与y轴的交点，判定②；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．

解答 解：∵抛物线y₁=a（x+2）²+m与抛物线y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+n的对称轴分别为x=-2，x=3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵y₁=a（x+2）²+m经过点A（1，3）与原点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+m=3}\\{4a+m=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{m=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴y₁=$\frac{3}{5}$（x+2）²-$\frac{12}{5}$，
∵y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+n经过点A（1，3），
∴$\frac{1}{2}$（1-3）²+n=3，
解得n=1，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1，
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$（0-3）²+1=5.5，故②错误；
由图象得，当x＞1时，y₁＞y₂，故③正确；
∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，
∴令y=3，则$\frac{3}{5}$（x+2）²-$\frac{12}{5}$=3，
整理得，（x+2）²=9，
解得x₁=-5，x₂=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y=3，则$\frac{1}{2}$（x-3）²+1=3，
整理得，（x-3）²=4，
解得x₁=5，x₂=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．