Question

如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．
（1）求∠A的度数．
（2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形性质和平行线的性质推出∠CBA=∠A=2∠DBA，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）作DE⊥AB于E，求出∠DEA=∠DBA=30°，求出AE、AB、DE即可．

解答：（1）解：∵AD=BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD，
∵DC∥BA，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠CBA=2∠DBA，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠A=∠ABC=2∠DBA，
∵DB⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=

2

3

×90°=60°，
答：∠A=60°．

（2）解：作DE⊥AB于E，
∵∠A=60°，∠DEA=90°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD=1cm，
由勾股定理得：DE=

3

cm，
同理AB=2AC=4cm，
∴梯形ABCD的面积是

1

2

（CD+AB）×DE=

1

2

×（2cm+4cm）×

3

cm=3

3

cm²，
答：梯形ABCD的面积是3

3

cm²．

点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键．