Question

17．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使三角形PBD的周长最小，求出点D和点P的坐标；
（3）在直线CD下方的抛物线上是否存在一点E，使得△DCE的面积最大，若有求出点E的坐标及面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）将y=0代入二次函数解析式，解关于x的方程，求出点D的坐标．连接AB与抛物线的对称轴交于点P，点P即为所求，根据点A、B点的坐标可求出直线AB的解析式，根据二次函数的解析式可找出对称轴的解析式，将其代入直线AB的解析式中即可求出点P的坐标；
（3）假设存在，过点E作EF∥y轴，交直线CD于点F．由点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，设出点E的坐标，由此即可得出点F的坐标，利用分割图形求面积法找出S_△DCE关于x的二次解析式，利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+2b+c}\\{-1=c}\\{5=16a+4b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1．
（2）当y=0时，得$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=2，
∴点D的坐标为（-1，0）．
D点和A点关于对称轴对称，连接AB与对称轴交于点P，P点即是所要找的点，如图1所示．

设直线AB的解析式为y=kx-1，
∵点A的坐标为（2，0），
∴0=2k-1，解得：k=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1．
∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1，
∴抛物线解析式为x=-$\frac{-\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
令y=$\frac{1}{2}$x-1中x=$\frac{1}{2}$，则y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{4}$，
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
（3）假设存在，过点E作EF∥y轴，交直线CD于点F，如图2所示．

∵点E是直线CD下方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1）（-1＜x＜4）．
设直线CD的解析式为y=mx+n，
∵点C（4，5）、点D（-1，0）在直线CD上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=4m+n}\\{0=-m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=x+1，
∴点F的坐标为（x，x+1），
∴EF=x+1-（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x-1）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2．
S_△DCE=$\frac{1}{2}$EF•（x_C-x_D）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2）×[4-（-1）]=-$\frac{5}{4}（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{125}{16}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，即点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）时，△DCE的面积最大，最大值为$\frac{125}{16}$．
故在直线CD下方的抛物线上存在一点E，使得△DCE的面积最大，点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$），△DCE的面积的最大值为$\frac{125}{16}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及对称问题中的最短线路问题，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出点P的位置；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，利用分割图形法求面积是关键，对于不能直接求面积的图形，我们一般都是将其分解成多个能直接求面积的图形，在今后的练习中应加强该方面的练习．