Question

12．如图，AB是⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，AD=BC．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°，则∠CAP=20°．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠ACB=∠BDA=90°，再由HL定理即可得出结论；
（2）先根据直角三角形的性质得出∠BAC的度数，再由圆周角定理得出∠BAD的度数，进而可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BDA=90°．
在Rt△ACB与Rt△BDA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠ABC=35°，
∴∠BAC=90°-35°=55°．
∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=35°，
∴∠CAP=∠BAC-∠BAD=55°-35°=20°．
故答案为：20．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．