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如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F,连接EF、DF.
(1)求证:△AEF∽△FED;
(2)若AD=6,DE=3,求EF的长;
(3)若DF∥BE,试判断△ABE的形状,并说明理由.

(1)证明:连接两圆的相交弦CE,
在圆O1中,∠EFD=∠DCE,
在圆O中,∠BAE=∠DCE,
∴∠EFD=∠BAE.
∵AE是∠BAC角平分线,
∴∠BAE=∠CAE.
∴∠CAE=∠EFD.
∵∠AEF=∠FED,
∴△AEF∽△FED.

(2)解:∵△AEF∽△FED,

∴EF2=AE•DE=(AD+DE)•DE=(6+3)×3=27,
∴EF=3

(3)解:△ABE为等腰三角形.理由如下:
∵ABCE是圆内接四边形,
∴∠FCE=∠ABE.
∵DF∥BE,∠FDE=∠AEB,
又∵∠FCE=∠EDF,
∴∠AEB=∠ABE.
∴△ABE为等腰三角形.
分析:(1)可通过证两组对应角相等来证两三角形相似.
(2)根据(1)中得出的相似三角形即可得出AE,DE,EF这三条线段的比例关系,有了AD,DE的长,即可求出EF的值.
(3)可通过证角的关系来得出三角形的形状.
点评:本题主要考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质等知识点.根据圆周角得出相关的角相等是解题的关键.
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垂直
,A′D′=
2

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