Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；

（3）当PQ的长度取最大值时，PQ与x轴的交点记为D，在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形与△BQD相似.如果存在，直接写出E点坐标，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4．（2）存在E（-4.0）或（0，0）或（4+4，0）

【解析】试题分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值；（2）先求得点C的坐标，然后依据待定系数法求得直线BC的解析式，由直线可抛物线的解析式可知P（t，-t2+3t+4），Q（t，-t+4），从而可求得QP与t的关系式，最后依据配方法可求得m的最大值；

（3）根据条件，利用相似三角形的性质即可求解.

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴

解得：a=﹣1，c=4．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）∵将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，

∴C（0，4）．

设直线BC的解析式为y=kx+b．

∵将B（4，0），C（0，4）代入得： ，解得：k=﹣1，b=4

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+4．

过点P作x的垂线PQ，如图所示：

∵点P的横坐标为t，

∴ P（t，-t2+3t+4），Q（t，-t+4）．

∴PQ=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t．

∴m=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）．

∴当t=2时，m的最大值为4．

（3）存在E（-4.0）或（0，0）或（4+4，0）