Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，垂足为D，E是AB上一点，EF⊥AC，垂足为F，G是BC上一点，CG=EF，求证：DF=DG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：求出AF=EF，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质推出CD=BD，∠ACD=∠B=45°，根据SAS推出△FCD≌△GBD，根据全等三角形的性质得出即可．

解答：证明：∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠AEF=∠A=45°，
∴AF=EF，
∵EF=CG，
∴AF=CG，
∵AC=BC，
∴CF=BG，
∵AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AC，
∴CD=BD，∠ACD=∠B=45°，
在△FCD和△GBD中，

CF=BG ∠FCD=∠B CD=BD

，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴DF=DG．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△FCD≌△GBD．