Question

17．在△ABC中，AB=AC，O是BC中点，BC=12$\sqrt{3}$cm，AB与⊙O相切于点D，AD：DB=1：3
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）接OD，AO，过O作OE⊥AC于E，由AB与⊙O相切于点D，得到OD⊥AB，∠ODA=90，根据AB=AC，O是BC中点，得到∠AEO=∠ADO=90，通过三角形全等得到OD=OE，问题即可得证；
（2）由AB=AC，O是BC中点，得到AO⊥BC，由于∠1+∠2=∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，通过△ADO∽△ODB，得到$\frac{AD}{OD}$=$\frac{OD}{BD}$，设AD=x，BD=3x，在R_t△ADO中，tan∠2=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出∠2=30°∠3=60°得到∠DOC=120°于是求得S_阴影=S_△ABC-S_△BOD-S_扇形DOF=$\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}$-$\frac{120π{•（3\sqrt{3}）}^{2}}{360}$=54-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-9π．

解答 解：（1）连接OD，AO，过O作OE⊥AC于E，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
∵AB=AC，O是BC中点，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
在△AOD与△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠CAO}\\{∠AEO=∠ADO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△AOE（AAS），
∴OD=OE，
∴AC与⊙O相切；

（2）∵AB=AC，O是BC中点，
∴AO⊥BC，
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠ADO=∠BDO=90°，
∴△ADO∽△ODB，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{OD}{BD}$，
∴OD²=AD•BD，
∵AD：DB=1：3，
∴设AD=x，BD=3x，
∴OD²=x•3x，
∴$OD=\sqrt{3}x$，
在R_t△ADO中，tan∠2=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠2=30°∠3=60°，
∴∠DOC=120°，
∵BC=12$\sqrt{3}$，
∴BO=6$\sqrt{3}$，
∴OD=$\frac{6\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，BD=3$\sqrt{3}$$•\sqrt{3}$=9，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△BOD-S_扇形DOF=$\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}$-$\frac{120π{•（3\sqrt{3}）}^{2}}{360}$=54-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-9π．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．