Question

如图：△ABC中，D为BC上一动点，BE⊥AD延长线于E，CF⊥AD于F，M是BC的中点，当D与M重合如图②时，试说明ME=MF．当D运动到如图①位置时，这个结论是否成立，说明理由．

Answer 1

分析：图②根据AAS证明△BEM≌△CHM即可得出结论；
图①延长EM交CF于H，通过证明△EBM≌△HCM（ASA）得出EM=MH，再根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答：解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠E=∠CFM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BEM≌△CHM（AAS），
∴ME=MF．

延长EM交FC于H．
因为BE⊥AE，CF⊥AE，可知BE∥FC．
易证△BEM≌△CHM，可得EM=MH，
又∠EFH=90°．
∴FM=

1

2

EH=EM．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质：在应用全等三角形的判定时，必要时添加适当辅助线构造三角形；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．本题关键是添加辅助线找到中间线段MN．