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已知点P是半径为2的⊙O外一点,PA是⊙的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作长为2
2
的弦AB,连接PB,则PB的长为
 
分析:本题应分两种情况进行讨论:
(1)弦AB在⊙O的同旁,可以根据已知条件证明△POA≌△POB,然后即可求出PA;
(2)弦AB在⊙O的两旁,此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形,然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PA.
解答:精英家教网解:连接OA,
(1)如图,当弦AB与PA在O的同旁时,
∵PA=AO=2,PA是⊙的切线,
∴∠AOP=45°,
∵OA=OB,
∴∠BOP=∠AOP=45°,
而OP=OP,
∴△POA≌△POB,
∴PB=PA=2;

(2)如图,当弦AB与PA在O的两旁,连接OA,OB,
∵PA是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,
而PA=AO=2,精英家教网
∴OP=2
2

∵AB=2
2

而OA=OB=2,
∴AO⊥BO,
∴PABO是平行四边形,
∴PB,AO互相平分;
设AO交PB与点C,
即OC=1,
∴BC=
5

∴PB=2
5
点评:在解本题时应分情况进行讨论,解题过程中主要了切线的性质、勾股定理,全等三角形的性质与判定,平行四边形的性质与判定等知识,综合性比较强,对于学生分析问题的能力要求比较高.
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