Question

14．若关于x的二次函数y=x²-2mx+m+6与x轴的两个交点的横坐标分别是α，β，试求（a-1）²+（β-1）²的最小值．

Answer 1

分析 根据关于x的二次函数y=x²-2mx+m+6与x轴的两个交点的横坐标分别是α，β，可以求得α+β与αβ的值以及m的取值范围，从而可以对（α-1）²+（β-1）²进行化简，并讨论m的取值不同，取得不同的最小值，然后进行对比，即可得到所求式子的最小值．

解答 解：由题意可得，α，β是方程x²-2mx+m+6=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（-2m）^{2}-4×1×（m+6）≥0}\\{α+β=2m}\\{αβ=m+6}\end{array}\right.$
解得，m≥3或m≤-2，
∴（α-1）²+（β-1）²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=（2m）²-2（m+6）-2×2m+2
=4m²-6m-10
=$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$，
∴当m≤-2时，$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$的值随m的增大而减小，
故m=-2时取得最小值，此时$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$=18；
当m≥3时，$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$的值m的增大而增大，
故当m=3时取得最小值，此时$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$=8；
由上可得，（α-1）²+（β-1）²的最小值是8．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、最值问题，解题的关键是明确题意，找出所求式子需要的条件．