Question

14．如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24 ），经过原点的直线l₁与经过点A的直线l₂相交于点B，点B坐标为（18，6）．
（1）求直线l₁，l₂的表达式．
（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），CD∥y轴交直线l₂于点D，CE∥l₂交y轴于点E．
①若点C的横坐标为m，求四边形AECD的面积S与m的函数关系式；
②当S最大时，求出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别设出直线l₁，l₂的表达式，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）①根据直线l₁的解析式可找出点C的坐标，根据直线l₂的表达式可找出点D的坐标，结合CD∥y轴，CE∥l₂可得出四边形AECD为平行四边形，再由点C、D的坐标利用平行四边形的面积公式即可得出结论；
②根据二次函数的性质找出S取最值时m的值，由此即可得出点C的坐标．

解答 解：（1）设直线l₁的表达式为y=k₁x，
将点B（18，6）代入y=k₁x中得：18k₁=6，
解得：k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直线l₁的表达式为y=$\frac{1}{3}$x．
设直线l₂的表达式为y=k₂x+b，
将点A（0，24），B（18，6）代入y=k₂x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{24=b}\\{6=18{k}_{2}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的表达式为y=-x+24．
（2）①将x=m代入y=$\frac{1}{3}$x得：y=$\frac{1}{3}$m，
∴点C的坐标为（m，$\frac{1}{3}$m）（0＜m＜18）．
∵CD∥y轴，
∴D点的横坐标也为m，
将x=m代入y=-x+24中得：y=-m+24，
∴点D的坐标为（m，-m+24），
∴CD=（-m+24）-$\frac{1}{3}$m=-$\frac{4}{3}$m+24．
∵CD∥y轴，CE∥l₂，
∴四边形AECD为平行四边形．
∵C（m，$\frac{1}{3}$m），
∴CD边上的高为m，
∴S=（-$\frac{4}{3}$m+24）m=-$\frac{4}{3}$m²+24m（0＜m＜18）．
②由S=-$\frac{4}{3}$m²+24m得：-$\frac{b}{2a}$=9，
∴当m=9时，S最大，
此时$\frac{1}{3}$m=3．
∴当S最大时，点C的坐标为（9，3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定以及平行四边形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）①找出S关于m的函数关系式；②利用二次函数的性质找出S取最值时m的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用待定系数法求出函数解析式是关键．