Question

13．△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠ADE=∠C=90°，AC＞AD．
（1）如图13，当点D在AC边上时，求证：$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
（2）当△ADE绕A旋转到如图14的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（3）当AC=10，AD=2$\sqrt{5}$且△ADE绕A旋转到∠DEB=90°时．求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，即可得出$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AE}{BE}$，即$\frac{AE}{AD}$=$\frac{BE}{CD}$，再根据△ADE是等腰直角三角形，可得$\frac{AE}{AD}$=$\sqrt{2}$，进而得到$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
（2）根据△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，可得出∠CAD=∠BAE，再根据$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AE}$，即可判定△ACD∽△ABE，进而得到$\frac{BE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，再根据等腰直角三角形ABC中，$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，即可得出$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
（3）分两种情况进行讨论，分别过A作AF⊥BE于F，根据四边形ADEF是正方形，即可得出AD=AF=EF=2$\sqrt{5}$，再根据勾股定理在Rt△ABF中，求得BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，即可得出BE的长，最后根据△ACD∽△ABE，得出$\frac{BE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，进而得到CD的长．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D在AC边上，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AE}{BE}$，即$\frac{AE}{AD}$=$\frac{BE}{CD}$，
又∵△ADE是等腰直角三角形，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；

（2）$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$成立．
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠CAD=∠BAE，
又∵AC：AB=1：$\sqrt{2}$，AD：AE=1：$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴△ACD∽△ABE，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，
又∵等腰直角三角形ABC中，$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；

（3）分两种情况：
①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F=90°，

当∠DEB=90°时，∠ADE=∠DEF=90°，
又∵AD=DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF=EF=2$\sqrt{5}$，
∵AC=10=BC，
∴AB=10$\sqrt{2}$，
∴Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴BE=BF-EF=4$\sqrt{5}$，
又∵△ACD∽△ABE，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{4\sqrt{5}}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∴CD=2$\sqrt{10}$；
②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE=∠AFB=90°，

当∠DEB=90°，∠DEB=∠ADE=90°，
又∵AD=ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD=EF=AF=2$\sqrt{5}$，
又∵AC=10=BC，
∴AB=10$\sqrt{2}$，
∴Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴BE=BF+EF=8$\sqrt{5}$，
又∵△ACD∽△ABE，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{8\sqrt{5}}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∴CD=4$\sqrt{10}$，
综上所述，线段CD的长为2$\sqrt{10}$或4$\sqrt{10}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应边成比例进行计算求解．解题时注意分类思想的运用．