Question

15．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过Rt△OAB的直角边AB的中点C，与斜边OB相交于点D，若OD=1，则BD=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 先设D的坐标为（a，b），BD=x，过D作DE⊥AO，再判定△OED∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，求得B（a+ax，b+bx），再根据点C为AB的中点求得C（a+ax，$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$bx），最后点C、D都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，得到关于x的方程，求得x的值即可．

解答 解：设D的坐标为（a，b），BD=x
过D作DE⊥AO于E，则OE=a，DE=b
由DE∥BA可得，△OED∽△OAB
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{BA}=\frac{OE}{OA}$，即$\frac{1}{1+x}=\frac{b}{BA}=\frac{a}{OA}$
∴AO=a+ax，AB=b+bx
∴B（a+ax，b+bx）
又∵点C为AB的中点
∴C（a+ax，$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$bx）
∵点C、D都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上
∴k=a×b=（a+ax）×（$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$bx）
整理得，（1+x）²=2
解得x=$\sqrt{2}$-1
∴BD的长为：$\sqrt{2}$-1
故答案为：$\sqrt{2}$-1

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，难度较大，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据数形结合的思想方法求解．