如图.已知点A的坐标为.直线y=-x+4.与x轴.y轴分别交点B和点C.连接AC.顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A.B.C三点．(1)求抛物线的表达式,(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E.P为第一象限内抛物线上的一点.过点P作x轴的垂线.交线段BC于点F.若四边形DEFP为平行四边形.求点P的坐标,(3)设点M是线段BC上的一动点.过点M作MN∥AB.交AC于点N.点Q从点B出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．如图，已知点A的坐标为（-2，0），直线y=-x+4，与x轴，y轴分别交点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax²+bx+c过A，B，C三点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）．
①若点Q满足75°＜∠BQC≤120°时，请直接写出运动时间t（秒）的范围4-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$≤t＜12-4$\sqrt{3}$
②当t（秒）为何值时，△QMN为等腰直角三角形？

分析（1）分别令y=0和x=0代入y=-x+4即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式为y=a（x+2）（x-4），最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点D的坐标；
（2）若四边形DEFP为平行四边形时，则DP∥BC，设直线DP的解析式为y=mx+n，则m=-1，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标；
（3）由题意可知，0≤t≤6，若△QMN为等腰直角三角形，则共有三种情况，①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．

解答解：（1）令x=0代入y=-x+4
∴y=3，
∴C（0，3），
令y=0代入y=-x+4，①
∴x=4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-4），
把C（0，4）代入y=a（x+2）（x-4），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴顶点D的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）；

（2）当DP∥BC时，
此时四边形DEFP是平行四边形，
设直线DP的解析式为y=mx+n，
∵直线BC的解析式为：y=-x+4，
∴m=-1，
∴y=-x+n，
把D（1，$\frac{9}{2}$）代入y=-x+n，
∴n=$\frac{11}{2}$，
∴直线DP的解析式为y=-x+$\frac{11}{2}$，
∴联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-x+\frac{11}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4}\end{array}\right.$，
解得：x=3或x=1（舍去），
∴把x=3代入y=-x+$\frac{11}{2}$，
y=$\frac{5}{2}$，
∴P的坐标为（3，$\frac{5}{2}$）；

（3）①如图，当∠BQC=120°时，则∠CQO=60°，
∴OQ=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴t=4-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
当∠CQ′B=75°时，过Q′作Q′R⊥BC于R，
∴BR=RQ′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，CR=$\frac{\sqrt{6}}{6}$t，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$t$+\frac{\sqrt{6}}{6}$t=4$\sqrt{2}$，
∴t=12-4$\sqrt{3}$，
∴75°＜∠BQC≤120°，
运动时间t（秒）的范围：4-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$≤t＜12-4$\sqrt{3}$；
故答案为：4-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$≤t＜12-4$\sqrt{3}$；
②由题意可知：0≤t≤6，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
把A（-2，0）和C（0，4）代入y=mx+n，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-2m+n}\\{4=n}\end{array}\right.$，
∴解得 $\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=2x+4，
由题意知：QB=t，
如图1，当∠NMQ=90°，
∴OQ=4-t，
令x=4-t代入y=-x+4，
∴y=t，
∴M（4-t，t），
∵MN∥x轴，
∴N的纵坐标为 t，
把y=t代入y=2x+4，
∴x=$\frac{1}{2}$t-2，
∴N（ $\frac{1}{2}$t-2，t），
∴MN=（4-t）-（$\frac{1}{2}$t-2）=6-$\frac{3}{2}$t，
∵MQ∥OC，
∴△BQM∽△BOC，
∴$\frac{MQ}{OC}$=$\frac{QB}{OB}$，
∴MQ=t，
当MN=MQ时，
∴6-$\frac{3}{2}$t=t，
∴t=$\frac{12}{5}$，
此时QB=$\frac{12}{5}$，符合题意，

如图2，当∠QNM=90°时，
∵QB=t，
∴点Q的坐标为（4-t，0）
∴令x=4-t代入y=2x+4，
∴y=12-2t，
∴N（4-t，12-2t），
∵MN∥x轴，
∴点M的纵坐标为12-2t，
∴令y=12-2t代入y=-x+4，
∴x=2t-8，
∴M（2t-8，12-2t），
∴MN=（2t-8）-（4-t）=3t-12，
∵NQ∥OC，
∴△AQN∽△AOC，
∴$\frac{NQ}{OC}$=$\frac{AQ}{OA}$，
∴NQ=12-2t，
当NQ=MN时，
∴12-2t=3t-12，
∴t=$\frac{24}{5}$，
∴此时QB=$\frac{24}{5}$，符合题意，

如图3，当∠NQM=90°，
过点Q作QE⊥MN于点E，
过点M作MF⊥x轴于点F，
设QE=a，
令y=a代入y=-x+4，
∴x=4-a，
∴M（4-a，a），
令y=a代入y=2x+4，
∴x=$\frac{1}{2}$a-2，
∴N（ $\frac{1}{2}$a-2，a），
∴MN=（4-a）-（ $\frac{1}{2}$a-2）=6-$\frac{3}{2}$a，
当MN=2QE时，
∴6-$\frac{3}{2}$a=2a，
∴a=$\frac{12}{7}$，
∴MF=QE=$\frac{12}{7}$，
∵MF∥OC，
∴△BMF∽△BCO，
∴$\frac{MF}{OC}$=$\frac{BF}{OB}$，
∴BF=$\frac{12}{7}$，
∴QB=QF+BF=$\frac{24}{7}$，
∴t=$\frac{24}{7}$，此情况符合题意，
综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=$\frac{12}{5}$或$\frac{24}{5}$或 $\frac{24}{7}$．

点评本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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