Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弧AB＝弧AC，AP是⊙O的切线，交BO的延长线于点P

(1) 求证：AP∥BC

(2) 若tan∠P＝，求tan∠PAC的值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】分析：（1）作AH⊥BC于H，如图，利用弧、弦、圆周角之间的关系由弧AB=弧AC得到AB=AC，则根据等腰三角形的性质得BH=CH，再根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，然后根据切线的性质得OA⊥AP，于是可判断AP∥BC；
（2）根据平行线的性质，由AP∥BC得到∠P=∠PBC，再根据正切的定义得到tan∠OBH=，设OH=3x，则BH=4x，OB=5x，然后在Rt△ABH中利用正切的定义可计算出tan∠ABH=2，然后证明∠ABH=∠C=∠PAC即可．

详解：(1)证明:作AH⊥BC于H,如图,

∵弧AB=弧AC,
∴AB=AC,
∴BH=CH,
即AH垂直平分BC,
∴点O在AH上,
∵AP为切线,
∴OA⊥AP,
∴AP∥BC;
(2)解: ∵AP∥BC,
∴∠P=∠PBC,
在RT△OBH中,tan∠OBH=,
设OH=3x,则BH=4x,
∴OB=5x,
∴AH=OA+OH=8x,
在RT△ABH中,tan∠ABH==2,
∵∠ABH=∠C=∠PAC,∴tanPAC.