Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（6，0）．
（1）当α=60°时，△CBD的形状是

 

；
（2）当AH=HC时，①求点H的坐标；②求直线FC的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先由旋转的性质可得两个条件：①BC=DC，②∠BCD=∠α=60°，显然所求的三角形是个等边三角形．
（2）当AH=HC时，可设出AH的长，然后表示出CH、BH的值，从而在Rt△CHB中利用勾股定理求得AH的长，即可得到点H的坐标；然后利用待定系数法可求得直线CF（即直线CH）的解析式．

解答：解：（1）由旋转的性质知：BC=CD，∠BCD=∠ACF=α；
若α=60°，则∠BCD=60°，故△BCD是等边三角形．

（2）设AH=HC=x，则：BH=6-x；
在Rt△CHB中，由勾股定理得：（6-x）²+4²=x²，
解得：x=

13

3

；
即AH=HC=

13

3

；
①点H的坐标为（

13

3

，4）．
②设直线CF的解析式为：y=kx+b，则有：

6k+b=0 13 3 k+b=4

，解得

k=- 12 5 b= 72 5

；
故直线CF的解析式为：y=-

12

5

x+

72

5

．

点评：此题较简单，主要考查了图形的旋转变化、等边三角形的判定、勾股定理以及用待定系数法确定一次函数解析式的方法，难度不大．