Question

10．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC．延长AD到E，使得∠EBD=∠CAB．

（1）如图1，若BD=2$\sqrt{5}$，AC=6．
①求证：BE是⊙O的切线；
②求DE的长；
（2）如图2，连结CD，交AB于点F，若BD=2$\sqrt{5}$，CF=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）①连接OB，由条件可求得∠EBD=∠ABO，再利用圆周角定理可求得∠EBD+∠OBD=90°，可证明BE是⊙O的切线；
②利用圆内接四边形的性质可求得∠BDE=∠ACB，可证明△ACB∽△BDE，利用相似三角形的性质可求得DE的长；
（2）延长DB、AC交于点H，可证得△ABD≌△ABH，可求得HB，再利用△DCH∽△DBF，可求得DF的长，设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r，在Rt△DCH中可求得CH=4，在Rt△ADC中，AD=2r，CD=8，AC=2r-4，由勾股定理可得到关于r的方程，可求得圆的半径．

解答 解：
（1）①如图1，连接OB，

∵BD=BC，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠EBD=∠CAB，
∴∠BAD=∠EBD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，OA=BO，
∴∠BAD=∠ABO，
∴∠EBD=∠ABO，
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线；
②∵四边形ACBD是圆的内接四边形，
∴∠ACB=∠BDE，且∠EBD=∠CAB，
∴△ACB∽△BDE，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{BC}{DE}$，即$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{DE}$，
解得DE=$\frac{10}{3}$；

（2）如图2，延长DB、AC交于点H，

∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=∠ABH=90°，
∵BD=BC，
∴∠DAB=∠HAB，
在△ABD和△ABH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠HAB}\\{AB=AB}\\{∠ABD=∠ABH}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ABH（ASA），
∴BD=HB=2$\sqrt{5}$，
∵∠DCH=∠FBD=90°，
∴△DCH∽△DBF，
∴$\frac{DC}{BD}$=$\frac{DH}{DF}$，即$\frac{DF+3}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{DF}$，解得DF=5，
设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r，
在Rt△DCH中，CH=$\sqrt{D{H}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{8}^{2}}$=4，
∴AC=2r-4，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²=AC²+CD²，
∴（2r）²=（2r-4）²+8²，解得r=5，
即⊙O的半径为5．

点评 本题为圆的综合应用，涉及切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆圆角定理、全等三角形的判定和性质、方程思想等知识．在（1）②中证明△ACB∽△BDE是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得DF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．