Question

14．如图，A，B分别在x，y轴上，OA=a，OB=b，且a²+b²-4a-4b=-8．
（1）求△ABO的面积；
（2）直线y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$交y轴于点F，OD垂直于AF，交AB于D，求点D的坐标；
（3）如图2，EF在y轴上，BE=OF，OM⊥AF交AB于点M，ME交AF于点P，试判断$\frac{PE}{PF}$的值是否发生变化？若不改变，请说明理由，并求值．

Answer 1

分析 （1）首先根据a²+b²-4a-4b=-8，可得（a-2）²+（b-2）²=0，据此求出a、b的值是多少；然后根据直角三角形的面积的求法，求出△ABO的面积是多少即可；
（2）首先求出直线AB的解析式，以及点F的坐标，进而求出直线AF的解析式；然后根据OD⊥AF，求出OD的斜率和OD的解析式；然后联立OD、AB的解析式，求出点D的坐标是多少即可；
（3）首先设BE=OF=a（m＞0），求出AF、OM的解析式各为多少；然后联立AB、OM的解析式，求出点M的坐标，再根据点E的坐标是（0，2+a），确定出直线ME的解析式是多少；最后联立AF、ME的解析式，求出点P的坐标是多少；再判断出点P在EF的中垂线上，所以$\frac{PE}{PF}$=1，$\frac{PE}{PF}$的值一定，不发生变化，据此解答即可．

解答 解：（1）∵a²+b²-4a-4b=-8，
∴（a-2）²+（b-2）²=0，
∴a-2=0，b-2=0，
解得a=2，b=2，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|
=$\frac{1}{2}×2×2$
=2

（2）∵a=2，b=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为y=x+2；
∵直线y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$交y轴于点F，
∴点F的坐标是：（0，$\frac{4}{3}$），
设直线AF的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AF的解析式是y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∵OD⊥AF，
∴OD的斜率是：（-1）÷$\frac{2}{3}$=-$\frac{3}{2}$，
∴OD是解析式是y=-$\frac{3}{2}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标是（-$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

（3）设BE=OF=a（a＞0），
则E（0，2+a）、F（0，-a），
∵A（-2，0）、F（0，-a），
∴直线AF的解析式为：y=-$\frac{a}{2}$x-a；
∵OM⊥AF，
∴OM的斜率是：
（-1）÷（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{2}{a}$，
∴OM的解析式为y=$\frac{2}{a}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{2}{a}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}{2-a}}\\{y=\frac{4}{2-a}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标是（$\frac{2a}{2-a}，\frac{4}{2-a}$），点E的坐标是（0，2+a），
∴设直线ME的解析式是：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{2-a}•k+b=\frac{4}{2-a}}\\{b=2+a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{a}{2}}\\{b=2+a}\end{array}\right.$，
∴ME的解析式为y=$\frac{a}{2}$x+2+a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{2}x+2+a}\\{y=-\frac{a}{2}x-a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{2}{a}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标是（-2-$\frac{2}{a}$，1 ），
∵E（0，2+a）、F（0，-a），
∴EF的中垂线上点的纵坐标是：
（2+a-a）÷2
=2÷2
=1，
∵点P的纵坐标是1，
∴点P在EF的中垂线上，
∴PE=PF，
∴$\frac{PE}{PF}$=1，即$\frac{PE}{PF}$的值一定，不发生变化．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，直线解析式的求法，以及直线的中垂线的特征，要熟练掌握．