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如图,已知直角三角形ABC,
(Ⅰ)试作出经过点A,圆心O在斜边AB上,且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆心O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(Ⅱ)设(Ⅰ)中所作的⊙O与边AB交于异于点A的另一点D.
求证:
(1)
(2)EC•BE=AC•BD.

【答案】分析:(Ⅰ)作∠BAC的角平分线AE交BC与E,过E点作EO垂直于BC,交AB与O,O即为所求圆心;
(Ⅱ)(1)要证,由组成线段可知只需证明△BDE∽△BEA即可,而∠B为共用角,∠1为弦切角∠4所夹的弧所对的圆周角所以相等,因此有△BDE∽△BEA,即
(2)要证EC•BE=AC•BD即证,由(1)知,所以需证,即Rt△ACE∽Rt△AED,而在这两个三角形中,都有一个直角,且易证∠1=∠3=∠2,所以可证相似,从而得出所求结论.
解答:(Ⅰ)解:如图所示;

(Ⅱ)证明:连接DE,则∠AED=90°,
(1)∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
;(5分)

(2)∵BC切⊙O于E,
∴OE⊥BC.
又∵AC⊥B,
∴OE∥AC.
∴∠1=∠3.
又易知∠2=∠3,
∴∠1=∠2.
又∵∠C=∠AED=90°,
∴Rt△ACE∽Rt△AED.
.(7分)
又由(Ⅰ)知,
∴EC•BE=AC•BD.(8分)
点评:此题主要考查了三角形相似和圆之间的关系,难易程度适中.
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精英家教网如图,已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,且CE=EB,ED⊥CB于D,则下列结论中不一定成立的是(  )
A、AE=BE
B、CE=
1
2
AB
C、∠CEB=2∠A
D、AC=
1
2
AB

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A、
a
c
B、
b
c
C、
b
a
D、
a
b

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(2012•上城区二模)如图,已知直角三角形OAB的直角边OA在x轴上,双曲线y=
1
x
(x>0)
与直角边AB交于点C,与斜边OB交于点D,OD=
1
3
OB
,则△OBC的面积为
4
4

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如图,已知直角三角形ABC的周长为2+
5
,斜边上的中线CD=1,则△ABC的面积为(  )

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如图,已知直角三角形ABC,∠A=90°,∠B=60°,若沿BC方向平移得三角形DCE,则tan∠DBC=
3
5
3
5

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