Question

求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的最末两位是56，它本身还能被56整除．

Answer 1

分析：假设所求的这个最小的自然数的前几位数为a，则这个数可表示为

.

a56

，即100a+56．先根据整除的性质得出a能被14整除，a为偶数，再根据这个数的各位数字之和等于56，它的最末两位是56，得出a最小为六位数，然后由

.

a56

是最小的自然数，分a的首位数字为1，2，…，依次讨论，即可求解．

解答：解：假设所求数的前几位数为a，则这个数可表示为

.

a56

，即100a+56．
∵

.

a56

-56=

.

a00

，

.

a56

能被56整除，56能被56整除，
∴

.

a00

能被56整除，而

.

a00

=a×100，
设a×100=56k（k为整数），则a×25=14k，
∴a能被14整除，a为偶数．
∵

.

a56

的各位数字之和等于56，最末二位数字之和为5+6=11，而56-11=45，
∴前几位数字之和为45，
∵99999的各位数字相加为45，而99999不是偶数，
∴a＞99999，a最小为六位数．
如果a的首位数字为1，则满足数字和为45的偶数只有一个：199998，不能被14整除；如果a的首位数字为2，则满足数字和为45的偶数从小到大依次为：289998，298998，299898，299988，
其中，可以被14整除的最小的数是：298998，
故所求的数字是：29899856．

点评：本题考查了数的整除性问题，属于竞赛题型，有一定难度．根据整除的性质得出a能被14整除，a为偶数是解题的关键．