Question

17．如图，△ABC中，∠ACB=α（0°＜α＜90°），CD平分∠ACB，过C点作CD的垂线交AB的垂直平分线于M，连接AM，求∠BAM（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 先连接BM，过M作MQ⊥AB于H，交CD的延长线于Q，连接AQ，BQ，根据MQ即为AB的垂直平分线，得出AQ=BQ，再过Q作QE⊥CA于E，作QF⊥BC于F，判定Rt△AEQ≌Rt△BFQ（HL），得出A，Q，B，C四点共圆，再根据∠QCM=90°，得出M在△BQC的外接圆上，即A，C，M，B，Q五点共圆，最后根据MB=MA，求得∠BAM=90°-$\frac{1}{2}$α．

解答 解：连接BM，过M作MQ⊥AB于H，交CD的延长线于Q，连接AQ，BQ，
由题可得，M在AB的垂直平分线上，
∴MQ即为AB的垂直平分线，
∴AQ=BQ，
过Q作QE⊥CA于E，作QF⊥BC于F，
∵在四边形ACBQ中，CQ平分∠ACB，
∴QE=QF，
∴Rt△AEQ≌Rt△BFQ（HL），
∴∠QAE=∠QBF，
∵∠QAE+∠QAC=180°，
∴∠QBF+∠QAC=180°，
∴A，Q，B，C四点共圆，
∴QM垂直平分弦AB，圆心在QM上，
∵∠QCM=90°，
∴M在△BQC的外接圆上，
∴A，C，M，B，Q五点共圆，
∴∠AMB=∠ACB=α，
∵MB=MA，
∴∠BAM=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四点共圆的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等腰三角形．