Question

设α、β分别是方程x²+x-1=0的两根，则2α⁵+5β³=________．

Answer 1

-21
分析：由于α，β分别是方程x²+x-1=0的根，故有：α²+α-1=0，β²+β-1=0，把2α⁵+5β³变形后即可解出答案．
解答：由于α，β分别是方程x²+x-1=0的根，故有：α²+α-1=0，β²+β-1=0，
即α²=1-α，β²=1=β，
从而α⁵=（α²）²•α=（1-α）²α=（α²-2α+1）α=（1-α-2α+1）α=-3α²+2α=-3（1-α）+2α=5α-3．
而β³=β²β=（1-β）β=β-β²=β-（1-β）=2β-1，
从而知2α⁵+5β³=2（5α-3）+5（2β-1）=10（α+β）-11=-21．
故答案为：-21．
点评：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是掌握根据已知条件对2α⁵+5β³进行变形．