Question

3．如图所示，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点D作DM∥x轴交双曲线y=$\frac{k}{x}$于点E，交直线AC于点M（4，2），得到四边形OAME的面积为4．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）连接BC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形OAME的面积=矩形OCMD的面积-两个直角三角形的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义，S_△AOC=S_△DOE=$\frac{1}{2}$|k|即可得出k，求得点A、B坐标，从而得出直线AB的解析式；
（2）根据△ABC的面积=AC•（y_A-y_B），计算即可．

解答 解：（1）∵AC∥y轴，DM∥x轴，
∴S_△AOC=S_△DOE=$\frac{1}{2}$|k|，
∵M（4，2），
∴S_{四边形OAME}=S_矩形OCMD-S_△AOC-S_△DOE=4×2-2×$\frac{1}{2}$|k|，
∵四边形OAME的面积为4，
∴8-k=4，
∴k=4，
∴反比例函数为y=$\frac{4}{x}$，
∴点A（4，1），B（-4，-1），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{4}$x；
（2）连接BC，如图，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×（4+4）=4，
∴△ABC的面积为4．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及反比例函数系数k的几何意义，S_△AOC=S_△DOE=$\frac{1}{2}$|k|，掌握用待定系数法求解析式的方法是解题的关键．