Question

半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P. 已知BC∶CA=4∶3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
【小题1】 求证：△ABC∽△PQC；          
【小题2】 当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
【小题3】 当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长；
【小题4】当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

Answer 1

【小题1】∵AB为⊙O的直径，         ∴∠ACB =90°．
在Rt△PCQ中，∠PCQ =" ∠ACB" ="90°, " ∵∠CPQ =∠CAB，
∴△ABC ∽△PQC
【小题2】当点P运动到与点C关于AB对称时，此时CP⊥直径AB于D，
∴CP=2CD
∵AB="10, " BC∶CA=4∶3，      ∴BC =" 8," AC=6．
又∵AC?BC=AB?CD，       ∴CD="4.8" ．
∴CP="2CD=9.6 " ∵△ABC ∽△PQC  
∴=   
∴CQ=12.8
【小题3】因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC ∽△PQC
所以PC最大时，CQ取到最大值．
∴当PC过圆心O，即PC取最大值 10时，CQ最大，最大为．
【小题4】当点P运动到弧CP的中点时,如图所示，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是弧AB的中点, ∠PCB="45°, " ∴在中，
∴CE=BE=4……7分  易证：△ABC ∽△PBE   ∴PE=3  ∴CP=7
∴CQ=7=

解析