Question

【题目】如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝4，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是_________．

Answer 1

【答案】4-2

【解析】

根据相似三角形的判定定理证明△COB∽△DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到∠APB=∠AOB=90°，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．

如图：

取AB的中点S，连接MS、PS，

则PS-MS≤PM≤MS+PS，

∵∠AOB=90°，OA=4，∠ABO=30°，

∴AB=2OA=8，OB=4，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠COB=∠DOA，

∵△AOB∽△DOC，

∴，

∴△COB∽△DOA，

∴∠OBC=∠OAD，

∵∠OBC+∠PBO=180°，

∴∠OAD+∠PBO=180°，∠AOB+∠APB=180°，

∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，

∴PS=AB=4，

∵M为OA的中点，S是AB的中点，

∴MS=OB=，

∴MP的最小值为4-，

故答案为：4-．