Question

如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点（E不与A、B重合），F是AD的延长线上一点，DF=2BE．四边形AEGF是句型，其面积y随BE的长x的变化而变化且构成函数．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若上述（1）中是二次函数，请用配方法把它转化成y=a（x-h）²+k的形式，并指出当x取何值时，y取得最大（或最小）值，该值是多少？
（3）直接写出抛物线与x轴交点坐标．

Answer 1

分析：（1）表示出AE、AF，然后根据矩形的面积公式列式整理即可得解；
（2）根据配方法整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到抛物线与x轴的交点坐标．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的边长是4，BE=x，DF=2BE，
∴AE=AB-BE=4-x，AF=AD+DF=4+2x，
∴y=（4-x）（4+2x）=-2x²+4x+16，
∵E不与A、B重合，
∴0＜x＜4，
故y=-2x²+4x+16（0＜x＜4）；

（2）y=-2x²+4x+16=-2（x²-2x+1）+2+16=-2（x-1）²+18，
∴y=-2（x-1）²+18，
∵a=-2＜0，
∴x=1时，y有最大值，最大值为18；

（3）令y=0，则-2x²+4x+16=0，
整理得，2x²-4x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
∴抛物线与x轴交点坐标为（-2，0），（4，0）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的三种形式，二次函数的最值问题，抛物线与x轴的交点问题，读懂题目信息并理解“句型”的定义是解题的关键．