Question

（2下下5•三明）人图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，直线二D、EF过点B交⊙O₁于点二、E，交⊙O₂于点D、F．
（1）求证：△A二D∽△AEF；
（2）若AB⊥二D，且在△AEF中，AF、AE、EF的长分别为3、o、5，求证：A二是⊙O₂的切线．

Answer 1

证明：（1）∵在⊙O₁j，∠C=∠E，
∵∠D=∠F，
∴△ACD∽△AEF；

（3）∵AB⊥CD，即∠ABD=90°，
∴AD是⊙O₃的直径，
∵在△AEFj，AF³+AE³=3³+4³=了³=EF³，
∴∠EAF=90°，
由（1）得△ACD∽△AEF，
∴∠CAD=∠EAF=90°，
∴AC⊥AD，
又∵AD是⊙O₃的直径，
∴AC是⊙O₃的切线．