Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t（s）表示运动的时间（0≤t≤5）．
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值．
（3）直接写出PQ中点移动的路径长度．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到BC=10，根据已知条件得到PA=2t，BP=10-2t，CQ=t，BQ=6-t．根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（2）如图1，作PF⊥AC，垂足为F．根据相似三角形的性质得到PF=$\frac{6t}{5}$，AF=$\frac{8t}{5}$．求得CF=8-$\frac{8t}{5}$，根据勾股定理得到CP=$\sqrt{C{F}^{2}+P{F}^{2}}$=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，根据三角形的面积即可得到结论；
（3）如图2，设PQ的中点为M，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，依题意，可知0≤t≤5，当t=0时，点M₁的坐标为（4，0）；当t=5时，点M₂的坐标为（0，5.5），求得直线M₁M₂的解析式为y=-$\frac{11}{8}$x+$\frac{11}{2}$．根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴BC=10cm．
由题意可知，PA=2t，BP=10-2t，CQ=t，BQ=6-t．
①若$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{BA}$，则△BQP∽△BCA．
即$\frac{6-t}{6}=\frac{10-2t}{10}$．解得t=0；
②若$\frac{BQ}{BA}=\frac{BP}{BC}$，则△BQP∽△BAC．
即$\frac{6-t}{10}=\frac{10-2t}{6}$．解得t=$\frac{32}{7}$．
故当t=0或t=$\frac{32}{7}$时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ABC相似，

（2）如图1，作PF⊥AC，垂足为F．
∴△APF∽△ABC．
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{2t}{10}=\frac{PF}{6}=\frac{AF}{8}$，
解得PF=$\frac{6t}{5}$，AF=$\frac{8t}{5}$．
∴CF=8-$\frac{8t}{5}$，
∴CP=$\sqrt{C{F}^{2}+P{F}^{2}}$=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$CP•AD=$\frac{1}{2}$PF•AC=$\frac{1}{2}$•$\frac{6t}{5}$•8=$\frac{1}{2}$•$\frac{48t}{5}$，
∴AD=$\frac{48t}{5CP}$．
同理BE=$\frac{48-\frac{48t}{5}}{CP}$．
∴y=AD+BE=$\frac{48t}{5CP}$+$\frac{48-\frac{48t}{5}}{CP}$=$\frac{48}{CP}$=$\frac{24}{\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}}$，
y=$\frac{24}{\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}}$=$\frac{24}{\sqrt{（t-\frac{16}{5}）^{2}+\frac{144}{25}}}$，当t=$\frac{16}{5}$时，y的最大值为10cm；

（3）如图2，设PQ的中点为M，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
依题意，可知0≤t≤5，当t=0时，点M₁的坐标为（4，0）；
当t=5时，点M₂的坐标为（0，5.5），设直线M₁M₂的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=5.5}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{11}{8}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线M₁M₂的解析式为y=-$\frac{11}{8}$x+$\frac{11}{2}$．
由（2）知点Q（0，t），P（8-$\frac{8t}{5}$，$\frac{6t}{5}$），
∴在运动过程中，线段PQ中点M₃的坐标为（4-$\frac{4t}{5}$，$\frac{11t}{10}$），
把x=4-$\frac{4t}{5}$，代入y=-$\frac{11}{8}$x+$\frac{11}{2}$，得y=$\frac{11t}{10}$，
∴点M₃在M₁M₂直线上，
∴线段PQ中点M所经过的路径长为$\sqrt{{4}^{2}+5．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{185}}{2}$cm．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．