Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=14，AD= 4，CD=7．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于AB，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）求腰BC的长；
（2）当Q在BC上运动时，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？

Answer 1

（1）5；（2）S=﹣5t²+14t(0＜t≤1）（3）不存在，理由见解析；（4）t=或t=

解析试题分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB=特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，求出梯形的高，然后利用勾股定理求出BC有长；
（2）当0＜t≤1时，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t；
（3）在（2）的条件下，不存在某一时刻t，使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的
（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．
试题解析：（1）5 
（2）当0＜t≤1时，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t
（3）梯形ABCD的面积为42
﹣5t²+14t=42程无解，所以△MPQ的面积不能为梯形ABCD的。
（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：
①如图4所示，点M在线段NM的右侧上
，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；
②如图5所示，当Q在MN的左侧时，5t-5+（2t-4）-7=（2t-4）+4-4，

解得：t=．
故当t=或t=时，△QMN为等腰三角形．
考点: 一次函数综合题．