如图1,点C、B分别为抛物线C1:y1=x2+1,抛物线C2:y2=a2x2+b2x+c2的顶点.分别过点B、C作x轴的平行线,交抛物线C1、C2于点A、D,且AB=BD.
(1)求点A的坐标:
(2)如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变,求CD的长和a2的值;
(3)如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”,其他条件不变,求b1+b2的值______
【答案】
分析:(1)连接AC、BC,根据二次函数图象的对称性可得AC=BC,BC=BD,再根据已知条件AB=BD,可以证明得到△ABC是等边三角形,所以∠ACE=30°,然后设AE=m,根据等边三角形的性质求出CE的长,再根据抛物线C
1:y
1=x
2+1求出点C的坐标,从而表示出点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线C
1的解析式,然后解关于m的一元二次方程求出m的值,代入即可得到点A的坐标;
(2)过点C作CE⊥AB于点E,设抛物线y
1=2x
2+b
1x+c
1=2(x-h
1)
2+k
1,然后表示出C的坐标,再设AE=m,根据等边三角形的性质求出CE的长度,从而得到点A的坐标,把点A的坐标代入抛物线C
1,整理后解关于m的一元二次方程,再根据(1)的结论即可求出CD的长;根据CD的长求出CE的长度,然后表示出点B的坐标,根据点B在是抛物线C
2的顶点,从而得到抛物线C
2的顶点式解析式,然后根据点C在抛物线C
2上,把点C的坐标代入抛物线C
2的解析式,整理求解即可得到a
2的值;
(3)根据(1)(2)的结论可知,a
2=-a
1,然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度,再根据(1)(2)的求解过程可得CD=2×
,然后代入进行计算即可得解.
解答:解:(1)如图,连接AC、BC,设直线AB交y轴于点E,
∵AB∥x轴,CD∥x轴,C、B为抛物线C
1、C
2的顶点,
∴AC=BC,BC=BD,
∵AB=BD,
∴AC=BC=AB,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACE=30°,
设AE=m,
则CE=
AE=
m,
∵y
1=x
2+1,
∴点C的坐标为(0,1),
∴点A的坐标为(-m,1+
m),
∵点A在抛物线C
1上,
∴(-m)
2+1=1+
m,
整理得m
2-
m=0,
解得m
1=
,m
2=0(舍去),
∴点A的坐标为(-
,4);
(2)如图2,连接AC、BC,过点C作CE⊥AB于点E,
设抛物线y
1=2x
2+b
1x+c
1=2(x-h
1)
2+k
1,
∴点C的坐标为(h
1,k
1),
设AE=m,
∴CE=
m,
∴点A的坐标为(h
1-m,k
1+
m),
∵点A在抛物线y
1=2(x-h
1)
2+k
1上,
∴2(h
1-m-h
1)
2+k
1=k
1+
m,
整理得,2m
2=
m,
解得m
1=
,m
2=0(舍去),
由(1)同理可得,CD=BD=BC=AB,
∵AB=2AE=
,
∴CD=
,
即CD的长为
,
根据题意得,CE=
BC=
×
=
,
∴点B的坐标为(h
1+
,k
1+
),
又∵点B是抛物线C
2的顶点,
∴y
2=a
2(x-h
1-
)
2+k
1+
,
∵抛物线C
2过点C(h
1,k
1),
∴a
2(h
1-h
1-
)
2+k
1+
=k
1,
整理得
a
2=-
,
解得a
2=-2,
即a
2的值为-2;
(3)根据(2)的结论,a
2=-a
1,
CD=-
-(-
)=
+
=
,
根据(1)(2)的求解,CD=2×
,
∴b
1+b
2=2
.
点评:本题是对二次函数的综合考查,主要利用了二次函数的对称性,等边三角形的性质,二次函数的顶点式解析式与一般解析式之间的转化,对同学们的能力要求较高,灵活性较强,规律总结比较重要,总体而言,本题难度较大,是道难得的好题.